Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为6．其离心率为

7

4

．若l₁，l₂是椭圆C的两条相互垂直的切线，l₁，l₂的交点为点P．
（1）求椭圆C的方程； 
（2）求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得2b=6，

7

16

=e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

．由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l₁的斜率存在且不为零时，设为k，设P（x₀，y₀），则直线l₁的方程为y=kx+y₀-kx₀，令m=y₀-kx₀.

y=kx+m x2 16 + y2 9 =1

⇒(16k2+9)x2+32kmx+16m2-144=0．由此利用根的判别式、点到直线的距离公式、韦达定理能求出|OP|²=25．直线l₁的斜率不存在或为零时也成立，由此能求出点P的轨迹是圆x²+y²=25．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为6．其离心率为

7

4

．
∴2b=6，解得b=3，又e=

7

4

，
从而

7

16

=e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

．
解得a²=16，b²=9．
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

9

=1．…（6分）
（2）①若直线l₁的斜率存在且不为零时，设为k，
设P（x₀，y₀），则直线l₁的方程为y-y₀=k（x-x₀）．
即y=kx+y₀-kx₀，令m=y₀-kx₀．

y=kx+m x2 16 + y2 9 =1

⇒(16k2+9)x2+32kmx+16m2-144=0．
直线l₁是椭圆的切线，
∴△=（32km）²-4（16k²+9）（16m²-144）=0，∴m²=16k²+9，
坐标原点O到直线l₁的距离d1=

|m|

1+k2

，
∴

d

2 1

=

m2

1+k2

=

16k2+9

1+k2

．
设坐标原点O到直线l₂的距离为d₂，
同理可得

d

2 2

=

16(- 1 k )2+9

1+(- 1 k )2

=

9k2+16

1+k2

．
所以|OP|2=

d

2 1

+

d

2 2

=

16k2+9

1+k2

+

9k2+16

1+k2

=25．
②若直线l₁的斜率不存在或为零时，由题意得|OP|2=

d

2 1

+

d

2 2

=25．
综上，|OP|²=25．
∴点P的轨迹是圆x²+y²=25．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、点到直线的距离公式、韦达定理的合理运用．