Question

已知全集U=R，集合A={x|x²-x-6＜0}，B={x|x²+2x-8＞0}，C={x|x²+2ax-3a²＜0}．
（1）求A∪B；
（2）若∁_U（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算

专题：集合

分析：（1）分别求出x²-x-6＜0和x²+2x-8＞0的解集，即求出集合A、B，由并集的运算求出A∪B；
（2）由补集的运算求出C_U（A∪B），并对x²+2ax-3a²＜0进行分解，根据∁_U（A∪B）⊆C分三种情况讨论，分别由子集的关系列出不等式求出a的范围．

解答： 解：（1）由x²-x-6＜0得，-2＜x＜3，则A={x|-2＜x＜3}，
由x²+2x-8＞0得，x＜-4或x＞2，则B={x|x＜-4或x＞2}，
∴A∪B={x|x＜-4或x＞-2}
（2）由（1）得，C_U（A∪B）={x|-4≤x≤2}，
由x²+2ax-3a²＜0得，（x+3a）（x-a）＜0，则C={x|（x+3a）（x-a）＜0}，
∵∁_U（A∪B）⊆C，∴分三种情况讨论，
当a＞0时，C={x|-3a＜x＜a}，则

-3a＜-4 a＞2

，∴a＞2．
当a＜0时，C={x|a＜x＜-3a}，则

a＜-4 -3a＞-2

，∴a＜-4．
当a=0时，不满足条件．
综上可得，a＞2或a＜-4．

点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，利用集合之间的关系、分类讨论思想求参数的范围，以及一元二不等式的解法．