Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，并满足f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1
（1）求f（1）的值；
（2）若存在实数t，使f（t）=2，求t的值；
（3）如果f（4x-5）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，x=y=1，即可求f（1）的值；
（2）利用已知条件转化f（16）=2，即可由f（t）=2，求出t的值；
（3）利用函数的单调性转化f（4x-5）＜2，即可求x的取值范围．

解答： 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）由f（4）=1，所以f（4）+f（4）=2，即f（16）=2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以t=16；
（3）由（2）知，f（16）=2，所以f（4x-5）＜2=f（16），0＜4x-5＜16，

5

4

＜x＜

21

4

．

点评：本题考查抽象函数的应用，赋值法以及函数的单调性的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．