Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB1=1，AC=

2

，直线B₁C与平面ABC成45°角．
（1）求证：平面A₁B₁C⊥平面B₁BCC₁；
（2）求二面角A-B₁C-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件导出B₁C与面ABC所成的角∠B₁CB=45°，AB⊥面B₁BCC₁，由此能证明面A₁B₁C⊥面B₁BCC₁．
（2）由已知条件推导出△AB₁C为等边三角形，取B₁C中点O，连结AO，BO，推导出∠AOB为二面角A-B₁C-B的平面角，由此能求出二面角A-B₁C-B的余弦值．

解答： （1）证明：∵BB₁⊥面ABC
∴B₁C与面ABC所成的角为∠B₁CB
∴∠B₁CB=45°，∵BB₁=1，∴BC=1，
又∵BA=1，AC=

2

∴AB²+BC²=AC²，∴AB⊥BC
∵BB₁⊥AB，BB₁∩BC=B，∴AB⊥面B₁BCC₁，
∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥面B₁BCC₁，
∵A₁B₁?面A₁B₁C，∴面A₁B₁C⊥面B₁BCC₁．
（2）解：∵Rt△ABB₁中，BB₁=AB=1，∴AB₁=

2

，
∴△AB₁C为等边三角形，
又∵△BB₁C为等腰三角形，
∴取B₁C中点O，连结AO，BO，则AO⊥B₁C，BO⊥B₁C，
∴∠AOB为二面角A-B₁C-B的平面角，
∵在Rt△BB₁C中，BO=

1

2

，B₁C=

2

2

，
在等边△AB₁C中，AO=

3

2

，AC=

6

2

，
∴在△AOB中cos∠AOB=

AO2+BO2-AB2

2AO•BO

=

( 2 2 )2+( 6 2 )2-12

2• 2 2 • 6 2

=

3

3

．
∴二面角A-B₁C-B的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．