Question

p：若关于x的方程sinx+cosx=m有实数解；q：f（x）=log_mx在（0，+∞）为单调递增．当p、q有且仅有一个为真命题时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于命题p：由关于x的方程sinx+cosx=m有实数解，化为m=

2

sin(x+

π

4

)，利用正弦函数的单调性即可得出；对于命题q：f（x）=log_mx在（0，+∞）为单调递增．可得m＞1．当p、q有且仅有一个为真命题时，分为以下两种情况：当p真q假时；当p假q真时，解出即可．

解答： 解：对于命题p：若关于x的方程sinx+cosx=m有实数解，则m=

2

sin(x+

π

4

)，则m∈[-

2

，

2

]；
对于命题q：f（x）=log_mx在（0，+∞）为单调递增．则m＞1．
当p、q有且仅有一个为真命题时，分为以下两种情况：
①当p真q假时，

- 2 ≤m≤ 2 0＜m＜1

，解得0＜m＜1；
②当p假q真时，

m＞ 2 或m＜- 2 m＞1

，解得m＞

2

．
综上可知：当p真q假时，m∈（0，1）；
②当p假q真时，m∈(

2

，+∞)．

点评：本题考查了三角函数和差化积、正弦函数的单调性、对数函数的单调性、分类讨论、命题的真假判断等基础知识与基本技能方法，属于中档题．