题目内容

△ABC中， $数学公式$ =（sinA，cosC）， $数学公式$ =（cosB，sinA）， $数学公式$ • $数学公式$ =sinB+sinC．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长的取值范围．

（1）证明：∵ $\text{[math]}$ =（sinA，cosC）， $\text{[math]}$ =（cosB，sinA）， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =sinB+sinC，
∴sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC．
∴由正弦定理得：acosB+acosC=b+c
由余弦定理得a• $\text{[math]}$ +a• $\text{[math]}$ =b+c，
整理得（b+c）（a²-b²-c²）=0．
∵b+c＞0，
∴a²=b²+c²，故△ABC为直角三角形．
（2）解：设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c．
∵△ABC外接圆半径为1，A= $\text{[math]}$ ，∴a=2，
∴b+c=2（sinB+cosB）=2 $\text{[math]}$ •sin（B+ $\text{[math]}$ ）．
∵0＜B＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜B+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴2＜b+c≤2 $\text{[math]}$ ，∴4＜a+b+c≤2+2 $\text{[math]}$ ，
故△ABC周长的取值范围为（4，2+2 $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）利用向量的数量积，结合正、余弦定理转化为边之间的关系，即可证得△ABC为直角三角形；
（2）设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c，根据△ABC外接圆半径为1，A= $\text{[math]}$ ，可得a=2，从而b+c=2（sinB+cosB）=2 $\text{[math]}$ •sin（B+ $\text{[math]}$ ），故可求b+c的取值范围，从而可求△ABC周长的取值范围．
点评：本题考查向量的数量积，考查正、余弦定理的运用，考查三角函数的性质，正确运用正、余弦定理是解题的关键．