Question

15．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂．左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D．若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且∠BF₁E=∠CF₁E，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 1+$\sqrt{6}$
• B． 1+$\sqrt{5}$
• C． 1+$\sqrt{3}$
• D． 1+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，求得CB的方程，解得E的坐标，即为中点，运用等腰三角形的性质，可得CF₁=BF₁，再由两点的距离公式和离心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由B（a，0），C（0，b），可得直线CB的方程为bx+ay=ab，
联立渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，解得E（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），
即有E为CB的中点，
由∠BF₁E=∠CF₁E，
即F₁E平分∠CF₁B，
可得三角形CF₁B为等腰三角形，
即有CF₁=BF₁，即$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=a+c，
又a²+b²=c²，可得c²=2a²+2ac，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-2=0，
解得e=1+$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，等腰三角形的性质，以及方程的思想，考查运算能力，属于中档题．