Question

6．已知定义域为（-1，1），函数f（x）=-x³+3x且f（a-3）+f（9-a²）＜0，则a的取值范围是（3，$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 先判断函数f（x）的奇偶性、单调性，然后把f（a-3）+f（9-a²）＜0转化为关于自变量的值间的大小关系，解不等式即可，要注意函数定义域．

解答 解：因为f（-x）=-（-x）³+（-3x）=x³-x=-f（x），所以f（x）为奇函数，
又f（x）=-x³+3x单调递增，
所以f（a-3）+f（9-a²）＜0，可化为f（a-3）＜-f（9-a²）=f（a²-9），
所以有$\left\{\begin{array}{l}{a-3＜{a}^{2}-9}\\{-1＜a-3＜1}\\{-1＜{a}^{2}-9＜1}\end{array}\right.$，解得3＜a＜$\sqrt{10}$
故答案为：（3，$\sqrt{10}$）．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性以及不等式的求解，解决本题的关键是利用函数f（x）的性质把不等式中的符号“f”去掉，变成关于自变量值间的关系．