Question

在区间[0，π]上，关于α的方程5sinα+4=|5cosα+2|解的个数为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：利用换元法，令5cosα=x，5sinα=y，则原方程化为y+4=|x+2|，x，y满足x²+y²=25，于是，方程5sinα+4=|5cosα+2|解的个数问题转化为绝对值函数图象与半圆的交点个数问题．

解答： 解：令

x=5cosα y=5sinα

，α∈[0，π]，则x²+y²=25，y∈[0，5]．
从而方程5sinα+4=|5cosα+2|化为y=|x+2|-4，
当x≥-2时，y=x-2；当x＜-2时，y=-x-6，
由此，作出y=|x+2|-4的图象，
考察x²+y²=25的上半圆与函数y=|x+2|-4的图象，可知两图象有一个公共点，
故α的值唯一，即关于α的方程5sinα+4=|5cosα+2有1个解．

点评：1．本题若直接解三角方程，计算量较大，运用换元及数形结合思想，将三角方程转化为半圆与绝对值函数图象的交点问题，思路非常巧妙，大大简化了求解过程．
2．本题考查了圆的参数方程的应用，对于方程的解的个数问题，一般有以下两种方法：
（1）几何法：运用数形结合思想，转化为两图象的交点个数问题；
（2）代数法：联立方程组，消去适当的元，得到一个一元二次方程，根据判别式△判断．