Question

14．为了研究某种微生物的生长规律，需要了解环境温度x（°C）对该微生物的活性指标y的影响，某实验小组设计了一组实验，并得到如表的实验数据：

环境温度x（°C）	1	2	3	4	5	6	7
活性指标y	28	27	26	24	25	23	22

（Ⅰ）由表中数据判断y关于x的关系较符合$\widehaty=\widehatbx+\widehata$还是$\widehaty={2^{\widehatbx+\widehata}}$，并求y关于x的回归方程（$\widehata$，$\widehatb$取整数）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结果分析：若要求该种微生物的活性指标不能低于2^6.3，则环境温度应不得高于多少°C？
附：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题中表格易知y关于x呈非线性关系，应选$\widehaty={2^{\widehatbx+\widehata}}$；设z=log₂y，则z关于x呈线性关系，求出z关于x的线性回归方程，再写出y关于x的回归方程；
（Ⅱ）利用回归方程，列出不等式2^-x+9≥2^6.3，求出x的取值范围即得．

解答 解：（Ⅰ）由题中表格易知y关于x呈非线性关系，故应选择$\widehaty={2^{\widehatbx+\widehata}}$；
设z=log₂y，则题中的表格可以化为

x	1	2	3	4	5	6	7
z	8	7	6	5	4	3	2

显然z关于x呈线性关系，
∵$\overline x=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=4$，
$\overline z=\frac{8+7+6+5+4+3+2}{7}=5$，
$\sum_{i=1}^7{{x_i}{z_i}}=113$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}^2}=140$，
∴$\widehatb=\frac{113-7×4×5}{{140-7×{4^2}}}=\frac{-27}{28}≈-1$，
$\widehata=5-（-1）×4=9$，
∴z关于x的线性回归方程为$\widehatz=-x+9$，
∴y关于x的回归方程为$\widehaty={2^{-x+9}}$；
（Ⅱ）∵2^-x+9≥2^6.3，∴-x+9≥6.3，
解得x≤2.7，故环境温度不能高于2.7°C．

点评 本题主要考查了线性回归方程的应用问题，准确的计算是解题的关键，属于中档题．