Question

4．已知F是椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1与双曲线C₂的一个公共焦点，A，B分别是C₁，C₂在第二、四象限的公共点．若$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，则C₂的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 设设左焦点为F，右焦点为F′，再设|AF|=x，|AF′|=y，利用椭圆的定义，四边形AFBF′为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：如图，设左焦点为F，右焦点为F′，
再设|AF|=x，|AF′|=y，
∵点A为椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的点，2a=4，b=1，c=$\sqrt{3}$；
∴|AF|+|AF′|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AFBF′为矩形，
∴|AF|²+|AF′|²=|FF′|²，
即x²+y²=（2c）²=12，②
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，解得x=2-$\sqrt{2}$，y=2+$\sqrt{2}$，
设双曲线C₂的实轴长为2a′，焦距为2c′，
则2a′=|AF′|-|AF|=y-x=2$\sqrt{2}$，2c′=2$\sqrt{3}$，
∴C₂的离心率是e=$\frac{c′}{a′}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF|与|AF′|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．