Question

13．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=1．直线l与曲线C相交于点A，B．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与y轴交于点P，求|PB|•|PA|．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=1，展开为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=1，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程．把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入椭圆方程可得：2t²+6t+3=0，利用|PB|•|PA|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=1，展开为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=1，可得直角坐标方程：x+y-$\sqrt{2}$=0．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数化为：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）代入椭圆方程可得：2t²+6t+3=0，
∴t₁t₂=$\frac{3}{2}$．
∴|PB|•|PA|=|t₁t₂|=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．