Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lnx，x＞1\\ \frac{1}{4}x+1，x≤1\end{array}$，g（x）=ax，则方程g（x）=f（x）恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（　　）（注：e为自然对数的底数）

• A． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• B． $[{\frac{1}{4}，\frac{1}{e}}）$
• C． $（{0，\frac{1}{4}}]$
• D． $（{\frac{1}{4}，e}）$

Answer 1

分析 作出f（x）与g（x）的函数图象，根据图象和交点个数判断a的范围．

解答 解：作出f（x）与g（x）的函数图象，如图所示：

设直线y=ax与y=lnx相切，切点坐标为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=1，a=$\frac{1}{e}$．
由图象可知当$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{e}$时，两图象有2个交点，
故选B．

点评 本题考查了方程解与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．