Question

（本小题满分14分）

如图5，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

（1）求证：AB平面PCB；

（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；

（3）求二面角C—PA—B的大小的余弦值．

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（1）因为PC^平面ABC，ABÌ平面ABC，

所以PC^AB．                         （1分）

因为CD^平面PAB，ABÌ平面PAB，

所以CD^AB．                         （2分）

又PCÇCD=C，所以AB^平面PCB．      （4分）

（2）由（1）AB^平面PCB，所以AB^BC.

又PC=AC=2，AB=BC，所以．

以B为原点，建立如图5所示的直角坐标系．   （5分）

则A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）． （6分）

于是，，．    （7分）

所以，     （8分）

故异面直线AP与BC所成的角为．                      （9分）

（3）设平面PAB的法向量为．

由，，

得解得

不妨令,  得．                        （11分）

设平面PAC的法向量为．

由，，

得 解得

不妨令，得 ．                               （13分）

于是，

故二面角C-PA-B大小的余弦值为．                      （14分）