Question

（本小题满分14分）已知的图像在点处的切线与直线平行.

⑴ 求，满足的关系式；

⑵ 若上恒成立，求的取值范围；

⑶ 证明：（）

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）的取值范围是 ；（3）见解析。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，可得f′（1）=a-b=2，即可求a，b满足的关系式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，构造新函数g（x）=f（x）-2lnx=-2lnx，x∈[1，+∞）则根据g（1）=0，g′（x），比较对应方程根的大小，进行分类讨论，即可求得a的取值范围；

（1），根据题意，即 ………3分

（2）由（1）知，，………4分

令，

则，=   ………5分

①当时，  ，

若，则，在为减函数，存在，

即在上不恒成立．                   ………6分

②时，，当时，，在增函数，又，

∴，∴恒成立．………7分

综上所述，所求的取值范围是 …………8分

（3）由（2）知当时，在上恒成立．取得

令，得， 

即  ……10分

  

  

∴  ………11分

上式中令n=1，2，3，…，n，并注意到：

然后n个不等式相加得到  ………14分

考点：本试题主要考查了导数知识的运用，考查恒成立问题，考查不等式的证明。属于中档试题。

点评：解决该试题的关键是正确求出导函数，构造新函数，利用函数的单调性解题，这是解决一般不等式恒成立问题的常用的方法，也是比较重要的方法。