Question

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}{sinA}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2$\sqrt{3}$，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\frac{sinB}{sinA}=\frac{\sqrt{3}cosB}{sinA}$ 即sinB=$\sqrt{3}$cosB，tanB=$\sqrt{3}$即可得B．
（2）${s}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{\sqrt{3}}{4}ac=2\sqrt{3}$，可得ac=8，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，可得a+c即可得△ABC的周长．

解答 解：（1）由题意得$\frac{sinB}{sinA}=\frac{\sqrt{3}cosB}{sinA}$ …（2分）
即sinB=$\sqrt{3}$cosB…（4分）
tanB=$\sqrt{3}$…（5分）
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）${s}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{\sqrt{3}}{4}ac=2\sqrt{3}$∴ac=8…（8分）
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
∴12=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∴（a+c）²=36，a+c=6
∴△ABC的周长为6+2$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查了正余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题