Question

15．已知sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，cos（$\frac{π}{6}$+$\frac{β}{2}$）=-$\frac{12}{13}$，-5π＜α＜-2π，-$\frac{π}{3}$＜β＜$\frac{5π}{3}$，求sin（$\frac{α}{6}$+$\frac{β}{2}$）的值．

Answer 1

分析 根据同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的余弦公式计算即可

解答 解：∵-5π＜α＜-2π，
∴-$\frac{5π}{6}$＜$\frac{α}{6}$＜-$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$＜0
∴cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）＞0，
∴cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）=$\frac{4}{5}$
∵-$\frac{π}{3}$＜β＜$\frac{5π}{3}$，-$\frac{π}{6}$＜$\frac{β}{2}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴0＜$\frac{π}{6}$+$\frac{β}{2}$＜π，
∴sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{β}{2}$）＞0
∴sin （$\frac{π}{6}$+$\frac{β}{2}$）=$\frac{5}{13}$
∵$\frac{α}{6}$+$\frac{β}{2}$=（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）+（$\frac{π}{6}$+$\frac{β}{2}$）-$\frac{π}{2}$
∴sin（$\frac{α}{6}$+$\frac{β}{2}$）=sin[（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）+（$\frac{π}{6}$+$\frac{β}{2}$）-$\frac{π}{2}$]=-cos[（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）+（$\frac{π}{6}$+$\frac{β}{2}$）]，
=-cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）cos（$\frac{π}{6}$+$\frac{β}{2}$）+sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{α}{6}$）sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{β}{2}$）=-$\frac{4}{5}$×（-$\frac{12}{13}$）-$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{13}$=$\frac{33}{65}$
即sin（$\frac{α}{6}$+$\frac{β}{2}$）=$\frac{33}{65}$．

点评 本题考查了同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的余弦公式，考查了学生的运算能力，属于中档题