Question

20．三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，且a=1，则三角形ABC外接圆面积为π．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入求出cosA的值，根据A为三角形内角，可求sinA的值，再利用正弦定理即可求出外接圆半径，利用圆的面积公式即可计算得解．

解答 解：∵b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，且a=1，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为三角形内角，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∴设三角形ABC外接圆半径为R，根据正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2R=2，即R=1，
∴三角形ABC外接圆面积S=πR²=π．
故答案为：π．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及圆的面积公式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．