Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面ABCD对角线的交点，
（1）求证：C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求二面角A-B₁D₁-C₁的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，连AO₁，推出AO₁∥C₁O，利用在小于平面平行的判定定理证明C₁O∥面AB₁D₁．
（2）连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，说明∠A₁O₁A的 补角为二面角A-B₁D₁-C₁的平面角，通过解三角形即可求出所求的二面角的正切值．

解答： 证明：（1）连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，连AO₁，由C₁O₁∥AO，C₁O₁=AO，
知四边形AOC₁O₁为平行四边形，
得AO₁∥C₁O．     （2分）
又AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，
故C₁O∥面AB₁D₁．                （4分）
（2）解：连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，显然A₁O₁⊥D₁B₁，（5分）    
而AA₁⊥面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?面A₁B₁C₁D₁，
故B₁D₁⊥面AA₁O₁，AO₁⊥B₁D₁，
故∠A₁O₁A的 补角为二面角A-B₁D₁-C₁的平面角．   （7分）
AA₁=a，则O₁A₁=

2

2

a，
则tan∠AO1A1=

AA1

A1O1

=

2

，
故所求的二面角的正切值为-

2

．（8分）

点评：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．