Question

13．已知函数f（x）=ax²+bx+c的图象在点x=1处的切线l为直线3x-y-1=0，T_n=f（n）为等差数列{a_n}的前n项和，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为（　　）

• A． $\frac{2010}{2011}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2017}{2018}$

Answer 1

分析 对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，由等差数列可得c=0，然后根据切线的方程可求a，b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．

解答 解：由f（x）=ax²+bx+c，求导得：f′（x）=2ax+b，
∵在点x=1处的切线l为直线3x-y-1=0，
∴f′（1）=2a+b=3，f（1）=a+b+c=2，
由题意可得c=0，a=b=1，
∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₅的值为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故选：C．

点评 本题考查了导数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．