Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2），n∈N₊，我们把使乘积a₁•a₂•…•a_n为整数的n，称作“类数”，则在区间（1，2009）内所有类数的和为

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：计算题

分析：由对数的换底公式化简a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=log₂（n+2），若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k（k∈Z），在（1，2009）内的所有类数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式求解．

解答： 解：∵a_n=log_n+1（n+2），
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log₂（n+2），
若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k（k∈Z），在（1，2009）内的所有类数分别为：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2，
∴所求的类数的和为2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026．
故答案为：2026．

点评：本题考查了对数的运算性质，解答的关键是对题意的理解，考查了计算能力，是中档题．