Question

已知圆M经过圆x²+y²+6x-4=0与圆x²+y²+6y-28=0的交点，
（I）若圆心在直线x-2y-3=0上，求圆M的方程
（Ⅱ）若圆的面积最小，求圆M的方程．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：综合题,直线与圆

分析：（I）设所求圆x²+y²+6x-4+λ（x²+y²+6y-8）=0，求出圆心坐标，代入直线x-2y-3=0上，即可求圆M的方程；
（Ⅱ）若圆的面积最小，圆M以已知两相交圆的公共弦为直径，即可求圆M的方程．

解答： 解：（I）设所求圆x²+y²+6x-4+λ（x²+y²+6y-8）=0
即（1+λ）x²+（1+λ）y²+6x+6λy-4-28λ=0，
其圆心为(-

3

1+λ

，-

3λ

1+λ

)代人直线x-2y-3=0得λ=2，所以所求为3x²+3y²+6x+12y-60=0
即（x+1）²+（y+2）²=25为所求．
（2）∵圆的面积最小，∴圆M以已知两相交圆的公共弦为直径
相交弦的方程为x-y+4=0，将圆心为(-

3

1+λ

，-

3λ

1+λ

)代人x-y+4=0
得λ=-

1

7

，所以所求圆

6

7

x2+

6

7

y2+6x-

6

7

y=0
即为(x+

7

2

)2+(y-

1

2

)2=

25

2

．

点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查圆系方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．