Question

12．已知函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）的图象与性质得出f（x）在区间[2，3]上单调递增，利用出最大、最小值列方程组求出a、b的值；
（2）根据不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，转化为k≤2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，设g（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，x∈[-1，1]；求出g（x）的最大值即得k的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）的图象是抛物线，
开口向上，对称轴为x=1；
∴f（x）在区间[2，3]上单调递增，
其最大值为f（3）=9a-6a+1+b=4，
最小值为f（2）=4a-4a+1+b=1，
解得a=1，b=0；
（2）由（1）知，函数f（x）=x²-2x+1，
不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，
化为2^2x-2•2^x+1-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解；
变形为k≤2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，
设g（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，x∈[-1，1]；
则g（x）≥2•$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$-2=0，当且仅当x=0时“=”成立；
又g（x）≤g（1）=g（-1）=$\frac{1}{2}$，
∴0≤g（x）≤$\frac{1}{2}$；
∴不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解时，k的取值范围是k≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式在某一区间上有解的问题，是中档题．