Question

3．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（cosC+sinC，1），$\overrightarrow{n}$=$（cosC-sinC，\frac{1}{2}）$，且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角C的大小；
（2）若c=3，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直得$cos2C=-\frac{1}{2}$，由此能求出解C．
（2）由余弦定理推导出ab≤9．由此能求出△ABC的面积的最大值．

解答 （12分）
解：（1）由题可知$\overrightarrow m•\overrightarrow n=（cosC+sinC）（cosC-sinC）+\frac{1}{2}=0$，…（2分）
所以$cos2C=-\frac{1}{2}$，…（3分）
因为$0＜C＜\frac{π}{2}$，所以$2C=\frac{2π}{3}，即C=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）由余弦定理可知c²=a²+b²-2abcosC，
即$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}={a^2}+{b^2}-ab$…（7分）
因为a²+b²≥2ab，所以9=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，即ab≤9（当且仅当a=b时取等号），…（10分）
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×9×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，
即△ABC的面积的最大值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．  …（12分）

点评 本题考查角的大小的求法，考查余弦定理、三角形面积公式、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．