Question

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1是单函数，下列命题
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数
②对数函数f（x）=log₂

1-x

1+x

在定义域上是单函数
③指数函数f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）为单函数
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数，其中的真命题的是

 

（写出所有真命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数的值

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据单函数的定义f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①④f（-1）=f（1），显然-1≠1，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．

解答： 解：∵函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数
对于①函数f（x）=x²不是单函数，∵f（-1）=f（1），显然-1≠1，∴函数f（x）=x²（x∈R）不是单函数；
对于②，对数函数f（x）=log₂

1-x

1+x

在定义域上是单函数，定义域（-1，1），函数是单调函数，满足单函数的定义，正确．
对于③，指数函数f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，（x∈R）是单调函数，满足单函数的定义，③为单函数正确，
对于④，当函数单调时，在单调区间上必有f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，但在其他定义域上，不一定是单函数，例如：函数f（x）=x²在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．
故答案为：②③．

点评：此题是中档题．考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力．