Question

20．已知两条直线l₁：y=3，l₂：y=$\frac{2}{m-1}$（2≤m≤6），l₁与函数y=|log₂x|的图象从左到右交于A，B两点，l₂与函数y=|log₂x|的图象从左到右交于C，D两点，若a=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$|，b=|$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$|，当m变化时，$\frac{b}{a}$的范围是（　　）

• A． （2${\;}^{\frac{2}{5}}$，4）
• B． [2${\;}^{\frac{2}{5}}$，4]
• C． [2${\;}^{\frac{17}{5}}$，32]
• D． （2${\;}^{\frac{17}{5}}$，32）

Answer 1

分析 作出图形，设$\frac{2}{m-1}$=t，根据平面向量投影的定义得出a，b关于t的函数，从而得出结论．

解答 解：令|log₂x|=3，解得x₁=$\frac{1}{8}$，x₂=8，即A（$\frac{1}{8}$，3），B（8，3），
设$\frac{2}{m-1}$=t，则$\frac{2}{5}≤t≤2$，令|log₂x|=t，解得x₁=2^-t，x₂=2^t，∴C（2^-t，t），D（2^t，t），
∵$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}$表示$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影，$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$表示$\overrightarrow{BD}$在$\overrightarrow{CD}$上的投影，
∴a=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}$|=2^-t-$\frac{1}{8}$，b=|$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$|=|2^t-8|=8-2^t，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{8-{2}^{t}}{{2}^{-t}-\frac{1}{8}}$=2^t+3．
∵$\frac{2}{5}≤t≤2$，
∴2${\;}^{\frac{17}{5}}$≤2^t+3≤32．
故选C．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，属于中档题．