Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列．
（1）若b=

3

2

，求a+c的取值范围；
（2）若

1

a

，

1

b

，

1

c

也成等差数列，求证：a=c．

Answer 1

考点：等差数列的性质,正弦定理

专题：综合题,等差数列与等比数列,解三角形

分析：（1）由已知得B=60°，由正弦定理得a+c=sinA+sinC=sinA+sin(1200-A)=

3

cos(600-A)，利用A的范围，即可求a+c的取值范围；
（2）若

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，

2

b

=

1

a

+

1

c

，得b=

2ac

a+c

，结合b²=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac，化简可得a=c．

解答： （1）解：由已知得B=60°．
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3 2

sin600

=1，得a+c=sinA+sinC=sinA+sin(1200-A)=

3

cos(600-A)，
∵A∈（0°，120°），∴60°-A∈（-60°，60°），则cos(600-A)∈(

1

2

，1]，
因此a+c∈(

3

2

，

3

]．
（2）证明：由已知

2

b

=

1

a

+

1

c

，得b=

2ac

a+c

．
又b²=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac，
将b=

2ac

a+c

代入此式得(

2ac

a+c

)2=a2+c2-ac，
化简此式得（a²+c²）²+ac（a²+c²）-6a²c²=0，
即（a²+c²+3ac）（a²+c²-2ac）=0．
∵a²+c²+3ac＞0，∴a²+c²-2ac=0，得a=c．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．