Question

已知椭圆

x2

3

+

y2

4

=1与双曲线12y²-4x²=3，F₁，F₂是它们的焦点，M是它们的一个交点，则△MF₁F₂是（　　）

• A、锐角三角形
• B、钝角三角形
• C、直角三角形
• D、等边三角形

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆和双曲线标准方程，得到F₁，F₂是它们共同的焦点，分别的定义，对于椭圆|MF₁|+|MF₂|=4．对于双曲线|MF₂|-|MF₂|=1．解得|MF₁|=

3

2

，|MF₂|=

5

2

，再根据勾股定理求出三角形为直角三角形

解答： 解：∵椭圆

x2

3

+

y2

4

=1，
∴对于椭圆a=2，c=

a2-b2

=

4-3

=1，
∴椭圆的焦点坐标为（0，1），（0，-1），
∵双曲线12y²-4x²=3，转化为

y2

1 4

-

x2

3 4

=1，
∴对于双曲线a=

1

2

，c=

a2+b2

=1，
∴双曲线的焦点坐标为（0，1），（0，-1），
∴F₁，F₂是的坐标为（0，1），（0，-1），
∴|F₁F₂|=2，
∵M是椭圆

x2

3

+

y2

4

=1与双曲线12y²-4x²=3，它们的一个交点，设交点在第一象限，
∴对于椭圆|MF₁|+|MF₂|=2a=4．对于双曲线|MF₂|-|MF₂|=2a=1．
解得|MF₁|=

3

2

，|MF₂|=

5

2

，
∵(

3

2

)2+(

5

2

)2=4=2²，
∴|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，
∴△MF₁F₂是直角三角形，
故选：C

点评：本题考查了根据椭圆和双曲线标准方程，以及定义，属于基础题