Question

在公差不为零的等差数列{a_n}中，已知a₁＝1，且a₁，a₂，a₅依次成等比数列．数列{b_n}满足b_n＋1＝2b_n－1，且b₁＝3.

(1)求{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)设数列的前n项和为S_n，试比较S_n与1－的大小．

Answer 1

解：(1)因为a₁＝1，且a₁，a₂，a₅依次成等比数列，

所以a＝a₁·a₅，即(1＋d)²＝1·(1＋4d)，

所以d²－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)，

所以a_n＝1＋2(n－1)＝2n－1.

因为b_n＋1＝2b_n－1，所以b_n＋1－1＝2(b_n－1)，

所以{b_n－1}是首项为b₁－1＝2，公比为2的等比数列．

所以b_n－1＝2×2^n－1＝2ⁿ.

所以b_n＝2ⁿ＋1.

(2)因为

所以，当n＝1,2时，2n＝2ⁿ，S_n＝1－；

当n≥3时，2n<2ⁿ，S_n<1－.