Question

P为正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁对角线BD₁上的一点，且BP＝λBD₁(λ∈(0,1))．下面结论：

①A₁D⊥C₁P；

②若BD₁⊥平面PAC，则λ＝；

③若△PAC为钝角三角形，则λ∈；

④若λ∈，则△PAC为锐角三角形．

其中正确的结论为________．(写出所有正确结论的序号)

Answer 1

　①②④

[解析]　在正方体中，易证A₁D⊥平面AD₁C₁B，又C₁P⊂平面AD₁C₁B，所以A₁D⊥C₁P，①正确；若BD₁⊥平面PAC，则点P为平面ACB₁与体对角线BD₁的交点，利用等体积法可得BP＝BD₁，即λ＝，②正确；以点D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在射线分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D₁(0,0,1)，又BP＝λBD₁，所以P(1－λ，1－λ，λ)，若△PAC为钝角三角形，只能是∠APC是钝角，所以·＝(λ，λ－1，－λ)·(λ－1，λ，－λ)＝3λ²－2λ<0，解得λ∈，所以③错误；由③可知若λ∈，则△PAC为锐角三角形，④正确．所以正确的结论序号为①②④.