Question

1．若函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，便有f（-x）=-f（x），从而可以求出a=1，从而得到$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．

解答 解：f（x）为奇函数；
∴f（-x）=-f（x）；
即$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-a}=\frac{{2}^{x}+1}{1-a•{2}^{x}}=-\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$；
∴1-a•2^x=a-2^x；
∴a=1；
∴$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$；
①x＞0时，x增大时，2^x-1增大，从而f（x）减小；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；
解得0＜x＜1；
②x＜0时，2^x-1＜0，∴f（x）＜1；
∴不满足f（x）＞3；
综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评 考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．