Question

13．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}$-1，若在区间（-2，10]内，关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有5个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． $（2，\root{3}{12}）$
• B． $（\root{3}{4}，2\sqrt{2}）$
• C． $（\root{3}{4}，2）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 先判断函数f（x）的性质，从而作函数f（x）与函数g（x）=log_a（x+2）的图象，从而可得log_a（6+2）＜3且log_a（10+2）＞3，从而解得．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∵f（x-2）=f（x+2），
∴f（x）是定义在R上的周期是4的函数，
作函数f（x）与函数g（x）=log_a（x+2）的图象如下，
，
结合图象可知，log_a（6+2）＜3且log_a（10+2）＞3，
解得，2＜a＜$\root{3}{12}$，
故选A．

点评 本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想应用．