Question

7．如图所示，正三角形ABC的外接圆半径为2，圆心为O，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，点D在平面ABC内的射影为圆心O．
（Ⅰ）求证：DO∥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥O-PBC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由O为正三角形ABC的外接圆圆心，知O是三角形ABC的中心，连接AO并延长，交BC于E，则AO=2OE，连接PE，又已知AD=2DP，结合平行线截线段成比例定理可得OD∥PE，再由线面平行的判定可得OD∥平面PBC；
（Ⅱ）由正三角形ABC的外接圆半径为2，求出正三角形边长，再由PB=PC=2求得PE，利用等积法求得三棱锥O-PBC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
∵O为正三角形ABC的外接圆圆心，∴O是三角形ABC的中心，
连接AO并延长，交BC于E，则AO=2OE，连接PE，
又AD=2DP，
∴OD∥PE，
∵PE?平面PBC，OD?平面PBC，
∴OD∥平面PBC；
（Ⅱ）解：∵正三角形ABC的外接圆半径为2，即OA=2，
∴AE=3，则BE=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=3\sqrt{3}$，${S}_{△BOC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}=\sqrt{3}$．
∵OD⊥平面ABC，PE∥OD，
∴PE⊥平面ABC，
又PB=PC=2，BE=$\sqrt{3}$，
∴PE=1．
则V_O-PBC=V_P-OBC=$\frac{1}{3}×{S}_{△OBC}×PE=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．