Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，$PC=PD=\sqrt{2}$，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求$\frac{PM}{PC}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．
（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值．
（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}$．利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，$\frac{PM}{PC}$=$\frac{1}{2}$

解答 （共14分）
证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．
因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．
在△PAC中，由已知E为PA中点，
所以EF∥PC．
又EF?平面BFD，PC?平面BFD，
所以PC∥平面BED． …（5分）
（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．
因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，
所以PO⊥CD．
又因为平面PCD⊥平面ABCD，
PO?平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．
取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，
所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）
如图建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（1，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，-1，0），
B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．
$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1）．
设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1）．
平面PCD的法向量为$\overrightarrow{OG}$=（1，0，0）．
设$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OG}$的夹角为α，所以cosα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OG}|}{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OG}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
由图可知二面角A-PC-D为锐角，
所以二面角A-PC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（10分）
（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}$．
因此点M（0，λ，1-λ），$\overrightarrow{BM}$=（-1，λ-1，1-λ），$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0）．
由$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AC}=0$，得1+2（λ-1）=0，解得$λ=\frac{1}{2}$．
因为$λ=\frac{1}{2}$∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．
此时，$\frac{PM}{PC}$=$\frac{1}{2}$．         …（14分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．