Question

设函数y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N⁺）的图象在x轴上截得的线段长d_n，记数列{d_n}的前n项和为S_n，若存在正整数n，使得log₂(Sn+1)m-n2≥18成立，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由函数y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N⁺）的图象在x轴上截得的线段长d_n，可得d_n=2^n-1，进而S_n=2ⁿ-1，根据对数的运算性质可得若存在正整数n，使得log₂(Sn+1)m-n2≥18成立，则m≥

18

n

+n2，求出

18

n

+n2的最小值，可得答案．

解答： 解：y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1=0得：
x=2ⁿ，或x=2^n-1，
故d_n=2^n-1，
则数列{d_n}为以1为首项以2为公比的等比数列，
则S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
若存在正整数n，使得log₂(Sn+1)m-n2≥18成立，
即存在正整数n，使得log₂(2n)m-n2≥18成立，
即存在正整数n，使得n（m-n²）≥18成立，
即存在正整数n，使得m≥

18

n

+n2，
仅y=

18

n

+n2，则y′=-

18

n2

+2n =

2(n3-9)

n2

，
由n≤2时，y′＜0，n≥3时，y′＞0时，
又由n=2时，

18

n

+n2=13，n=3时，

18

n

+n2=5，
故

18

n

+n2的最小值为13，
若存在正整数n，使得m≥

18

n

+n2，
则实数m的最小值为13．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，函数的最值，等比数列的前n项和，是数列，函数，不等式，对数运算的综合应用，难度较大，属于难题．