Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的任意一点
（1）证明面PAD⊥面PCD；
（2）若直线MC与面PCD所成角的余弦值为

3 10

10

，试求定点M的位置．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得CD⊥AD，CD⊥PA，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．
（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M是PB中点．

解答： （1）证明：∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA，
又AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．
（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，
AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得P（0，0，1），D（1，0，0），
C（1，1，0），B（0，2，0），

PC

=(1，1，-1)，

PD

=（1，0，-1），
设平面PCD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PC =x+y-z=0 n • PD =x-z=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，1），
设

PM

=t

PB

=t（0，2，-1）=（0，2t，-t），
设M（a，b，c），则

PM

=（a，b，c-1），
∴M（0，2t，1-t），

MC

=（1，1-2t，t-1），
∵直线MC与面PCD所成角的余弦值为

3 10

10

，
设直线MC与面PCD所成角为θ，
∴sinθ=

10

10

=|cos＜

MC

，

n

＞|=|

1+t-1

2 • 1+(1-2t)2+(t-1)2

|，
解得t=

1

2

，∴M是PB中点．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
[余弦值为3

10

，更正为：余弦值是：

3 10

10

]