Question

【题目】如图，已知在矩形中，为边的中点，将沿直线折起到（平面）的位置，为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）已知，当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）延长与相交于点,连接，根据中位线证明，得到证明.

（2）证明，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，根据夹角公式计算得到答案.

（1）延长与相交于点,连接,

∵为边的中点，四边形为矩形，

∴,,∴为的中位线，∴为线段的中点，

∵为线段的中点，∴∵平面，平面,

∴平面.

（2）∵,为边的中点，∴,即,

取线段的中点,连接,,则由平面几何知识可得,,

又∵四边形为矩形，,为边的中点，

∴,,

∵平面平面，平面平面,,

∴平面，

∵平面，∴,

∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则,,,,,,,,

设平面的一个法向量为，则，即，

不妨取，则，，即，

设直线与平面所成角为，则

，

∴直线与平面所成角的正弦值为.