Question

【题目】设函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明:.

Answer 1

【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为.（2），证明见解析

【解析】

（1）当时，利用导数求得的单调区间.

（2）先求得的导函数，则有两个不同的零点，且都不是.对分成两种情况分类讨论，利用导数研究的单调性和零点，由此求得的取值范围. 由上述分析可得，利用导数证得，从而证得.

(1)

.

令，

得，得，

在上递减，在上递增.

即，

解得，解得，

的单调减区间为，单调增区间为.

(2)，

有三个极值点，

方程有两个不等根，且都不是，

令，

时，单调递增，至多有一根，

解得，解得.

在上递减，在上递增，

此时，，，时.

时，有三个根，且，

由得，由得，

下面证明:，可变形为

令，

，在上递增，

，