Question

【题目】已知点为平面内一定点，动点为平面内曲线上的任意一点，且满足，过原点的直线交曲线于两点.

（1）证明：直线与直线的斜率之积为定值；

（2）设直线，交直线于、两点，求线段长度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设，则，可得，利用点在椭圆上可得定值；

（2）由（1）可设直线：，则直线：，分别求出、的坐标，表示线段长度，利用均值不等式求最值即可.

（1）设，，

由题意可知，且，

所以，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且长轴长为4，焦距为，

即，，，

所以，曲线的轨迹方程为.

由已知两点关于原点对称，不妨设，则，

所以，，

又因为，点在曲线上，所以，，解得，，

所以，，

所以，直线与直线的斜率之积为定值.

（2）由第（1）可得，，

所以，不妨设直线：，则直线：，

将分别代入直线，直线的方程得，，，

，

因为，，所以，，

当且仅当，即时，取得最小值.