Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若对于定义域内任意的，恒成立，求的取值范围；

（3）记，若在区间内有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递减（2）（3）

【解析】

(1)代入求导分析定义内导数的正负以及原函数的单调性即可.

(2)求导函数的零点可得 再分,与三种情况得出函数的单调性进而求得的最大值与的取值范围即可.

(3)参变分离得,再分析的单调性与值域,从而求得的取值范围.或直接根据求导分与和三种情况讨论,利用零点存在定理列式求解即可.

（1）当时, ,

的定义域为,

令得（舍负）

在上单调递减,在上单调递减.

（2）.

令有

当时,恒成立；

当时,在上单调递减,上单调递增

,；

当时,在上单调递减,上单调递增

,；

综上：

（3）法一：显然,不是的零点∴

由得 （*）

,令得

在和单调递减,单调递增

又时,,（*）不成立

所以只需,

故

法二：,

当时,不合题意,舍去；

当时,在上单调递减,上单调递增,

要使在区间内有两个零点,则需满足

,得到；

当时,在上单调递减,上单调递增,

要使在区间内有两个零点,则需满足

,得到；

综上：