Question

【题目】已知函数，．

（1）若.

（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（ⅱ）求函数在区间内的极大值的个数．

（2）若在内单调递减，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）1；（2）．

【解析】

（1）（ⅰ）求出导函数，得到与，利用点斜式得到直线的方程；（ⅱ）研究函数在区间内单调性，结合极值的定义得到答案；

（2）由题可知，其中，分两类情况：与，

结合函数的单调性与极值即可得到实数的取值范围．

（1）（ⅰ）因为，

所以，．

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为，

化简得．

（ⅱ）当时，，单调递增，此时无极大值．

当时，设，则，

所以在内单调递减．

又因为， ，

所以在内存在唯一的，使得．

当变化时，，的变化如下表

		0
	↗		↘

所以在内单调递增，在内单调递减，此时有唯一极大值．

综上所述，在内的极大值的个数为．

（2） 由题可知，其中．

当时，，故在内单调递减；

下面设．

对于，，且，

所以．

所以当时，．

设，，

则．

所以在上单调递减．

， ．

当时，即时，，对，，

所以，在内单调递增，不符合题意．

当时，即时，，，

所以，使，

因为在内单调递减，

所以对，，所以．

所以在内单调递增，不符合题意．

所以当时，在内不单调递减．

综上可得，

故的取值范围为．