Question

已知O为坐标原点，点M（1+cos2x，1），N（1，

3

sin2x+a）（x∈R，a∈R，a是常数），且y=

OM

-

ON

，
（Ⅰ）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并说明此时f（x）的图象可由y=2sin（x+

π

6

）的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的坐标运算求出解析式，再利用恒等变换求出结果．
（2）先根据函数的定义域求出函数的值域，再求出a，最后进行恒等变换（平移和伸缩）求出结果．

解答： 解：（1）依题意得：

OM

=(1+cos2x，1)，

ON

=(1，

3

sin2x)+a
因为：y=

OM

-

ON

∴y=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a（x∈R，a∈R，a是常数）
（2）若x∈[0，

π

2

]，则 (2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
此时y_max=2+1+a=4∴a=1
故f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2的图象可由y=2sin(x+

π

6

)的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

1

2

倍，得到y=2sin(2x+

π

6

)的图象；
再将y=2sin(2x+

π

6

)的图象上的点横坐标不变，纵坐标向上平移1个单位长度得到．

点评：本题考查的知识点：向量的坐标运算，三角函数的恒等变换，利用值域求函数的解析式，函数图象的变换．属于基础题．