题目内容
在空间直角坐标系O-xyz中，坐标原点为O，P点坐标为（x，y，z）．
（Ⅰ）若点P在x轴上，且坐标满足|2x-5|≤3，求点P到原点O的距离的最小值；
（Ⅱ）若点P到坐标原点O的距离为2
，求x+y+z的最大值．
（Ⅰ）若点P在x轴上，且坐标满足|2x-5|≤3，求点P到原点O的距离的最小值；
（Ⅱ）若点P到坐标原点O的距离为2
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考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法
专题：综合题,推理和证明,不等式
分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式，求出x的范围，即可求点P到原点O的距离的最小值；
（Ⅱ）点P到坐标原点O的距离为2
，故x2+y2+z2=12，由柯西不等式，得（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x+y+z）2，即可求x+y+z的最大值．
（Ⅱ）点P到坐标原点O的距离为2
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解答：
解：（Ⅰ）由点P在x轴上，所以P（x，0，0），
又坐标满足|2x-5|≤3，所以-3≤2x-5≤3，…（2分）
解得1≤x≤4，…（3分）
所以点P到原点O的距离的最小值为1..…（4分）
（Ⅱ）由点P到坐标原点O的距离为2
，
故x2+y2+z2=12，…（5分）
由柯西不等式，得（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x+y+z）2，…（6分）
即（x+y+z）2≤36，
所以x+y+z的最大值为6，当且仅当x=y=z=2时取最大．…（7分）
又坐标满足|2x-5|≤3，所以-3≤2x-5≤3，…（2分）
解得1≤x≤4，…（3分）
所以点P到原点O的距离的最小值为1..…（4分）
（Ⅱ）由点P到坐标原点O的距离为2
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故x2+y2+z2=12，…（5分）
由柯西不等式，得（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x+y+z）2，…（6分）
即（x+y+z）2≤36，
所以x+y+z的最大值为6，当且仅当x=y=z=2时取最大．…（7分）
点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．
练习册系列答案
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四棱锥P-ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2若向量
、
满足
+
=（2，-1），
=（1，2），则向量
与
的夹角等于（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| A、135° | B、120° |
| C、60° | D、45° |