Question

已知函数f（x）=log₂

1+ax

x-1

（a为常数）是奇函数．
（Ⅰ）求a的值与函数 f（x）的定义域；
（Ⅱ）若当x∈（1，+∞） 时，f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）直接由奇函数的定义列式求解a的值，然后由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案；
（Ⅱ）化简f（x）+log（x-1）为log₂（1+x），由x的范围求其值域得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵知函数f（x）=log₂

1+ax

x-1

是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴log2

1-ax

-x-1

=-log2

1+ax

x-1

，
即log2

ax-1

x+1

=log2

x-1

1+ax

，
∴a=1．
令

1+x

x-1

＞0，解得：x＜-1或x＞1．
∴函数的定义域为：{x|x＜-1或x＞1}；
（Ⅱ）f（x）+log₂（x-1）=log₂（1+x），
当x＞1时，x+1＞2，
∴log₂（1+x）＞log₂2=1，
∵x∈（1，+∞），f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立，
∴m≤1，
m的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题．