Question

12．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=4，点D是A₁C₁的中点，则异面直线AD和BC₁所成角的大小为30°．

Answer 1

分析 可作出图形，取AC中点E，并连接C₁E，BE，从而有C₁E∥AD，从而得到∠EC₁B或其补角便为异面直线AD和BC₁所成角，根据条件可以求出△BC₁E的三边长度，从而可以得到∠BEC₁=90°，然后求sin∠BC₁E，这样即可得出异面直线AD和BC₁所成角的大小．

解答 解：如图，取AC中点E，连接C₁E，BE，则C₁E∥AD；

∴∠EC₁B或其补角为异面直线AD和BC₁所成角；
根据条件得：BE=2$\sqrt{2}$，C₁E=2$\sqrt{6}$，BC₁=4$\sqrt{2}$；
∴BE²+C₁E²=BC₁²；
∴∠BEC₁=90°；
∴sin∠EC₁B=$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$；
∴∠EC₁B=30°；
∴异面直线AD和BC₁所成角的大小为30°．
故答案为：30°

点评 考查异面直线所成角的概念及求法，直角三角形边的关系，正弦函数的定义，以及已知三角函数值求角．