Question

已知函数f（x）=e^x-a（x-1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；
（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出a=-1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；
（2）求出导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（3）由（2）可得，a＞0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2-lna）≥b，则ab≤a²（2-lna），令t=a²（2-lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=e^x+x-1的导数为f′（x）=e^x+1，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e+1，
又切点为（1，e），则切线方程为y-e=（e+1）（x-1），即为（e+1）x-y-1=0；
（2）函数f（x）=e^x-a（x-1）的导数f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，f′（x）＞0，解得，x＞lna，f′（x）＜0，解得，x＜lna．
即有f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（-∞，lna）；
（3）由（2）可得，a≤0时，f（x）递增，无最值；
当a＞0时，f（x）在（-∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，
则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为a-a（lna-1）=a（2-lna）．
函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，则有a（2-lna）≥b，
则ab≤a²（2-lna），
令t=a²（2-lna），则t′=2a（2-lna）-a=a（3-2lna），
当0＜a＜e

3

2

时，t′＞0，t递增；当a＞e

3

2

时，t′＜0，t递减．
则t在a=e

3

2

时取得极大，也为最大，且为e³（2-

3

2

）=

1

2

e³．
则ab的最大值为

1

2

e³．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查构造函数运用导数求最值的思想方法，考查运算能力，属于中档题．