Question

如果函数f（x）=x³-

3

2

x²+a在[-1，1]上的最大值是2，那么f（x）在[-1，1]上的最小值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：f′（x）=3x²-3x，令f′（x）=0，可得x=0，或x=1；因为f（0）=a，f（-1）=-

5

2

+a，f（1）=-

1

2

+a，所以f（x）_max=a=2，f（x）_min=-

5

2

+a=-

1

2

．

解答： 解：f（x）=x³-

3

2

x²+a，f′（x）=3x²-3x，
令f′（x）=0，
可得x=0，或x=1；
①当0≤x≤1时，在区间[0，1]上，f′（x）＜0，
可得f（x）在[0，1]上是减函数，
所以f（x）_max=f（0）=a=2，
f（x）_min=f（1）=a-

1

2

，
解得a=2；
②当-1≤x＜0时，在区间[-1，0]上，f′（x）＞0，
可得f（x）在[-1，0]上是增函数，
所以f（x）_min=f（-1）=a-

5

2

，
综上，f（x）_min=f（-1）=a-

5

2

=2-

5

2

=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．