Question

6．在边长为3的等边三角形ABC中，$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{BD}$，2$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$=3$\overrightarrow{BE}$，则|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，以BC边所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出D、B、C、A的坐标，设出E的坐标，由已知列式求得E的坐标，进一步求出$\overrightarrow{DE}$的坐标，代入向量模的公式得答案．

解答 解：如图，以BC边所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

则D（-$\frac{1}{2}$，0），B（$-\frac{3}{2}$，0），C（$\frac{3}{2}，0$），A（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
设E（x，y），
则由2$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$=3$\overrightarrow{BE}$，得（6，0）+（$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$）=（$\frac{9}{2}+3x$，3y），
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{2}=\frac{9}{2}+3x}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}=3y}\end{array}\right.$，解得E（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{DE}=（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，则$|\overrightarrow{DE}|=\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，正确建立平面直角坐标系是解答该题的关键，是中档题．