Question

17．如图1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．
（1）证明：AD⊥BC；
（2）求三棱锥D-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）先证明BC⊥平面PAC，再证明AD⊥平面PBC，进而可得AD⊥BC；
（2）三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积，进而得到答案．

解答 解：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，

又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，
所以BC⊥AD．…（3分）
由三视图可得，
在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，
所以AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC
又因为BC?面PBC，
故AD⊥BC…（6分）
（2）由三视图可得BC=4，
由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC…（9分）
又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积，
所以，所求三棱锥的体积$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}×4×4=\frac{16}{3}$…（12分）

点评 本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定与性质，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．