Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线l：x=m（m∈R）．四点（3，1），（3，-1），（-2

2

，0），（

3

，

3

）中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线l上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点P在直线l上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN．证明：直线l′恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）判断点（3，1），（3，-1），点（

3

，

3

）在椭圆C上，点（-2

2

，0）在直线l上，代入椭圆方程，即可求出椭圆C的方程；
（2）分类讨论，利用点差法求出直线l′的方程，可得直线l′恒过定点．

解答： （1）解：由题意有3个点在椭圆C上，根据椭圆的对称性，则点（3，1），（3，-1）一定在椭圆C上，
即

9

a2

+

1

b2

=1  ①，…（2分）
若点（-2

2

，0）在椭圆C上，则点（-2

2

，0）必为C的左顶点，
而3＞2

2

，则点（-2

2

，0）一定不在椭圆C上，
故点（

3

，

3

）在椭圆C上，点（-2

2

，0）在直线l上，…（4分）
所以

3

a2

+

3

b2

=1   ②，
联立①②可解得a²=12，b²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

4

=1；             …（6分）
（2）证明：由（1）可得直线l的方程为x=-2

2

，设P（-2

2

，y₀），y₀∈（-

2 3

3

，

2 3

3

），
当y₀≠0时，设 M（x₁，y₁）、N （x₂，y₂），显然x₁≠x₂，
联立

x12 12 + y12 4 =1 x22 12 + y22 4 =1

，则

x12-x22

12

+

y12-y22

4

=0，即

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

•

x1+x2

y1+y2

，
又PM=PN，即P为线段MN的中点，
故直线MN的斜率为-

1

3

•

-2 2

y0

=

2 2

3y0

，…（10分）
又l′⊥MN，所以直线l′的方程为y-y₀=-

3y0

2 2

（x+2

2

），…（13分）
即y═-

3y0

2 2

（x+

4 2

3

），
显然l′恒过定点（-

4 2

3

，0），…（15分）
当y₀=0时，直线MN即x=-2

2

，此时l′为x轴亦过点（-

4 2

3

，0）；
综上所述，l′恒过定点（-

4 2

3

，0）．          …（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查点差法的运用，考查分类讨论的数学思想，正确运用点差法是解题的关键．